Em anteriores artigos do Tribuna das Ilhas e a propósito da sucessão de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …), introduziu-se um número irracional aproximadamente igual a 1,618, que se representa pela letra grega phi e que se designa habitualmente por número de ouro. Vejamos alguns aspetos interessantes associados a este número.
Geometricamente, o número de ouro surge a partir da divisão de um segmento no que Euclides designou por média e extrema razão, na sua obra Elementos (cerca de 300 a.C.): um segmento é cortado na média e extrema razão sempre que está para a maior parte assim como a maior parte está para a menor parte (figura A). Se assumirmos que o valor do comprimento do segmento mais pequeno é igual a 1 unidade e que o segmento maior mede x unidades, obtemos a seguinte relação: (x+1)/x=x/1. Multiplicando ambos os membros por x, deduzimos a equação quadrática x^2-x-1=0. Ao aplicar a conhecida fórmula resolvente, obtemos como solução positiva a metade da soma de raiz de 5 com 1, nada mais, nada menos do que phi.
O número de ouro apresenta outros aspetos curiosos. Na figura B, mostra-se que phi pode ser escrito sob a forma de uma fração contínua infinita. Isto significa que este número irracional pode ser sucessivamente aproximado por números racionais. Esta propriedade é comum a todos os números irracionais. Contudo, por ser constituída apenas por uns, esta fração contínua gera uma sucessão que converge muito lentamente para phi, razão pela qual é habitual dizer-se que phi é o “mais irracional de todos os irracionais”.
Vejamos como obter a sucessão de números racionais a partir da fração contínua. Começamos com o número 1+1/1=2=2/1; em seguida, para determinar um novo termo da sucessão, basta adicionar uma unidade ao inverso do termo anterior. Assim, obtemos: 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; … Note-se que os valores dos numeradores e denominadores são termos consecutivos da sucessão de Fibonacci! Esta propriedade já tinha sido referida em anteriores artigos: ao dividirmos termos consecutivos da sucessão de Fibonacci aproximamo-nos cada vez mais do valor de phi.
Interessante é verificar que este é apenas um caso particular: se considerarmos uma sucessão de números com a propriedade de cada termo, a partir do terceiro, ser igual à soma dos dois que o precedem (tal como acontece com a sucessão de Fibonacci), independentemente dos dois números de que se tenha partido, a verdade é que a razão de dois termos consecutivos dessa sucessão vai aproximar-se sempre do número de ouro. Por exemplo, se os dois primeiros números forem o 1 e o 3, obtemos a sucessão 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, … Se dividirmos termos consecutivos desta sequência, vamos obtendo valores cada vez mais próximos de phi. Por exemplo, 47/29 é aproximadamente igual a 1,621. Esta sequência numérica é designada por sucessão de Lucas, em honra ao matemático francês do século XIX, também conhecido pelos seus trabalhos em matemática recreativa. Apesar de menos frequente que a sucessão de Fibonacci, a sucessão de Lucas também marca a sua presença na Natureza. Por exemplo, em algumas espécies de girassol, o número de espirais que enrolam para a direita e o número das que enrolam para a esquerda na cabeça do girassol não são dois números de Fibonacci consecutivos, mas sim dois números de Lucas consecutivos.
Concentramos agora a nossa atenção no pentágono e no pentagrama, figuras geométricas normalmente associadas ao número de ouro. Em O Código Da Vinci, Dan Brown recorre ao pentagrama para “apimentar” a sua obra com algum misticismo. Quem leu o livro ou viu o filme de 2006, baseado no bestseller de Dan Brown, pôde constatar isso mesmo. O pentagrama, ou estrela regular de cinco pontas, é um dos símbolos inventados pelo homem que deu origem a mais interpretações ao longo da história. Desde logo, o número de pontas da estrela, 5, exprime a união dos desiguais: 2 e 3. Em muitas culturas, simbolizou a união do masculino com o feminino. Para os hebreus, era um símbolo da Verdade, em menção aos 5 primeiros livros do Antigo Testamento. Os primeiros cristãos associaram-no às cinco chagas de Cristo. Já quando se inverte o pentagrama, de forma a apresentar uma ponta para baixo, este recebe o nome cabalístico de pentáculo, sendo utilizado para simbolizar o Diabo. No livro A Espiral Dourada, de Nuno Crato, Carlos Pereira dos Santos e Luís Tirapicos, encontra estas e muitas outras curiosidades relacionadas a obra de Dan Brown.
Pode desenhar-se um pentagrama a partir das diagonais de um pentágono regular (figura C). As diagonais, por sua vez, formam um novo pentágono mais pequeno no centro e as diagonais deste formam outro pentagrama e um pentágono ainda mais pequeno. Uma propriedade impressionante é que, ao tomarmos em consideração segmentos de reta por ordem decrescente de tamanho (na figura C estão marcados alguns desses segmentos, com comprimentos a, b, c e d), a razão entre os comprimentos de um segmento e do seu antecessor é exatamente igual ao número de ouro. De notar, em particular, que a razão entre os comprimentos de uma diagonal do pentágono e de um lado do pentágono é igual a phi.
Na figura C destacam-se também alguns triângulos de ouro: por exemplo, os triângulos com os lados de comprimento a e b e os triângulos com os lados de comprimento c e d. Chamam-se triângulos de ouro porque são triângulos isósceles em que a razão entre os comprimentos de um dos dois lados iguais e da sua base é igual a phi.
Existem outras “figuras geométricas douradas” igualmente famosas. Falaremos do retângulo de ouro numa próxima oportunidade.
Departamento de Matemática da Universidade dos Açores, Este endereço de email está protegido contra piratas. Necessita ativar o JavaScript para o visualizar.